陽明交大物理所高文芳

 費瑪原則（Fermat’s principle)/有智慧的光：光會找最快（其實對光子而言也是最短）的路徑前往目的地。經過不同折射率介質時，光徑遵守司乃耳定律。  幾何證明不難，只要畫出適當的輔助圓。只是好幾個圓不太好畫而已，有了輔助圓證明就可以用看的看出答案。 1. AOB 是司乃耳路徑 2. ACB是比較久的路徑 3. 左邊是n1介質、右邊是n2介質。 4. 先切割兩種路徑在n1,n2等長的部分，再比較剩下的部分。 5. 證明光由ACB到達B時，比較久的路徑少走了CG這段距離。 6. 證明需要第三個圖幫忙，證明光在n1介質跑AO距離的時間，和光在n2介質跑IO距離的時間相同。 證明完畢。 光由第一象限或第四象限進入n2 介質，證明略有不同，但是方法類似，PE論文上因為文章過長而被審查建議移除第四象限證明。 動機是被問到，高中生怎麼認識費瑪原則到底是怎麼一回事。傳統證明要微分，雖然當時微積分剛發明，但是費瑪已經熟悉微積分，這個證明的過程也是變分原理的起源之一，是17世紀數學、物理新世界的開始，在物理學的發展史上非常重要。 還沒學微分的高中生，不容易暸解費瑪原則的美，因此需要替代的證明。 因為討厭電腦，不太會用電腦畫圖，先用圓規畫，怎麼都找不出適當的輔助圓，試了幾種不適合在ipad 用的軟體，最後只好回來找 TeX。 雖然網路上找不到幾何證明，但是深信應該有人已經做過，作法也許略有不同。即使如此，因為畫得很辛苦，網路上都找不到類似的幾何證明，還是覺得應該找個高中老師、學生會讀的物理教育期刊發表，免得白費我辛苦畫了好幾個鐘頭的心力。 最後有了生平第一篇給高中老師、高中生參考的物理教育論文。 第6點的證明也可以直接用代數證明，給定坐標直接算，就變成代數證明。 W. F. Kao,  A geometric approach to Fermat principle as a demonstration of high school geometry and physical optics,   Phys. Educ.   56   ( 2021) 045014 

 電腦實驗室實驗記錄 明明：computer,  sin x 對x微分 computer: 答案是 cos x 明明： computer,  ln x 對 x微分 computer: 答案是 1/x 明明： computer,  ln sin x 對 x 微分 computer: 答案是 cot x 明明：可是課本上說答案是 cos x/sin x computer: 答案是 cot x，同時 cot x 也等於 cos x/sin x, 所以兩個都是答案。 明明：既然兩個都是答案，你為什麼事先不說清楚。 computer ： 傻瓜，兩種寫法都一樣，有什麼好說的。 明明：笨蛋，老師說，一定要先寫 cos x/sin x 再化簡成 cot x，不然老師會認為你是偷看別人的答案。 computer: 傻孩子，你問在下（也就是我）答案，其實和偷看別人的答案也是一樣，沒什麼差別。如果你要計算過程，你要先提示在下，是有一個傻蛋在問問題，要用傻蛋的方法回答，在下才會知道要用傻蛋的方法回答。 明明：老師說過，一定要有計算過程，不然就是作弊。 computer: 你跟老師說，他也是笨蛋，他難道不知道，有的人就是很聰明，甚至比在下還要厲害，只要腦袋轉一轉，最後的答案就自動跑出來。 明明：你居然敢說老師是笨蛋，你才是X蛋，我要跟老師說。 老師： computer, 你告訴我，為什麼 sin x 對 x 微分，答案是 cos x? computer: 很簡單，我的資料庫裡的記錄就是這個答案，google 一下就知道了。 老師：我是問你「為什麼」，不是要你告訴我答案。 computer: 等一下，我可以告訴你 sin( x+dx ) - sin x 再除以 dx, 經過也不算太複雜的高中三角函數運算後，取 dx 趨近於0 的極限，就會變成 sin x。 老師：很好，告訴我 sin (x +dx) 的展開式。 computer: ooxxooxxooooxxxxx 老師：很好，再告訴我 sin x 是什麼意思 computer:  sin x 就是張角為 x 的直角三角形，鄰邊長和斜變長的比值。如果你要知道他的泰勒展開式，在下也可以教你。 老師：你說什麼？小心你的口氣！告訴我鄰邊是什麼意思 computer: 這樣有點煩哪，你告訴在下你的程度，讓我知道你到底要知道什麼程度的答案，這樣比較直接