費瑪原則(Fermat’s principle)幾何證明




 費瑪原則(Fermat’s principle)/有智慧的光:光會找最快(其實對光子而言也是最短)的路徑前往目的地。經過不同折射率介質時,光徑遵守司乃耳定律。 

幾何證明不難,只要畫出適當的輔助圓。只是好幾個圓不太好畫而已,有了輔助圓證明就可以用看的看出答案。

1. AOB 是司乃耳路徑

2. ACB是比較久的路徑

3. 左邊是n1介質、右邊是n2介質。

4. 先切割兩種路徑在n1,n2等長的部分,再比較剩下的部分。

5. 證明光由ACB到達B時,比較久的路徑少走了CG這段距離。

6. 證明需要第三個圖幫忙,證明光在n1介質跑AO距離的時間,和光在n2介質跑IO距離的時間相同。

證明完畢。

光由第一象限或第四象限進入n2 介質,證明略有不同,但是方法類似,PE論文上因為文章過長而被審查建議移除第四象限證明。

動機是被問到,高中生怎麼認識費瑪原則到底是怎麼一回事。傳統證明要微分,雖然當時微積分剛發明,但是費瑪已經熟悉微積分,這個證明的過程也是變分原理的起源之一,是17世紀數學、物理新世界的開始,在物理學的發展史上非常重要。

還沒學微分的高中生,不容易暸解費瑪原則的美,因此需要替代的證明。

因為討厭電腦,不太會用電腦畫圖,先用圓規畫,怎麼都找不出適當的輔助圓,試了幾種不適合在ipad 用的軟體,最後只好回來找 TeX。

雖然網路上找不到幾何證明,但是深信應該有人已經做過,作法也許略有不同。即使如此,因為畫得很辛苦,網路上都找不到類似的幾何證明,還是覺得應該找個高中老師、學生會讀的物理教育期刊發表,免得白費我辛苦畫了好幾個鐘頭的心力。

最後有了生平第一篇給高中老師、高中生參考的物理教育論文。

第6點的證明也可以直接用代數證明,給定坐標直接算,就變成代數證明。



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