費瑪原則（Fermat’s principle)幾何證明
費瑪原則（Fermat’s principle)/有智慧的光：光會找最快（其實對光子而言也是最短）的路徑前往目的地。經過不同折射率介質時，光徑遵守司乃耳定律。
幾何證明不難，只要畫出適當的輔助圓。只是好幾個圓不太好畫而已，有了輔助圓證明就可以用看的看出答案。
1. AOB 是司乃耳路徑
2. ACB是比較久的路徑
3. 左邊是n1介質、右邊是n2介質。
4. 先切割兩種路徑在n1,n2等長的部分，再比較剩下的部分。
5. 證明光由ACB到達B時，比較久的路徑少走了CG這段距離。
6. 證明需要第三個圖幫忙，證明光在n1介質跑AO距離的時間，和光在n2介質跑IO距離的時間相同。
證明完畢。
光由第一象限或第四象限進入n2 介質，證明略有不同，但是方法類似，PE論文上因為文章過長而被審查建議移除第四象限證明。
動機是被問到，高中生怎麼認識費瑪原則到底是怎麼一回事。傳統證明要微分，雖然當時微積分剛發明，但是費瑪已經熟悉微積分，這個證明的過程也是變分原理的起源之一，是17世紀數學、物理新世界的開始，在物理學的發展史上非常重要。
還沒學微分的高中生，不容易暸解費瑪原則的美，因此需要替代的證明。
因為討厭電腦，不太會用電腦畫圖，先用圓規畫，怎麼都找不出適當的輔助圓，試了幾種不適合在ipad 用的軟體，最後只好回來找 TeX。
雖然網路上找不到幾何證明，但是深信應該有人已經做過，作法也許略有不同。即使如此，因為畫得很辛苦，網路上都找不到類似的幾何證明，還是覺得應該找個高中老師、學生會讀的物理教育期刊發表，免得白費我辛苦畫了好幾個鐘頭的心力。
最後有了生平第一篇給高中老師、高中生參考的物理教育論文。
第6點的證明也可以直接用代數證明，給定坐標直接算，就變成代數證明。
- W. F. Kao, A geometric approach to Fermat principle as a demonstration of high school geometry and physical optics, Phys. Educ. 56 (2021) 045014
